Mathe Vital Banner Zentrum Mathematik Banner TUM Banner

Komplexe Zahlen - Konjugation


Eine weitere wichtige grundlegende Operation ist die komplexe Konjugation. Diese ordnet einer komplexen Zahl $u=x+iy$ die komplexe Zahl $\overline{u}:=x-iy$ zu, bei der der Imaginärteil negiert wurde. Geometrisch entspricht die komplexe Konjugation einer Spiegelung an der reellen Achse. Eine wichtige Anwendung der Konjugation ist die Berechnung des Betrages einer komplexen Zahl. Dieser ergibt sich zu \[ |z|=\sqrt{z\cdot\overline{z}}. \] Im Prinzip ist dies eine Anwendung des Satzes von Pythagoras und der Tatsache, dass $i^2=-1$ gilt. Ist nämlich $z=a+ib$, so gilt: \[ \sqrt{z\cdot\overline{z}}=\sqrt{(a+ib)\cdot(a-ib)}=\sqrt{a^2-(ib)^2}=\sqrt{a^2+b^2}. \]