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Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl

In diesem Applet kann man die Kettenbruchentwicklung einer reellen Zahl schrittweise mitverfolgen. Die Eingabe der Zahl erfolgt in dem Textfeld links oben (es können Zahlen, Brüche oder sogar mathematische Formelausdrücke (wie sqrt(2) oder epx(1) oder (1+sqrt(5))/2) eingegeben werden). Ausgangspunkt für die Berechnung ist die Fließkommadarstellung der reellen Zahl $x$. Das heißt, es wird keinerlei strukturelle Information über den Berechnungsausdruck übernommen. Die Berechnung wird dann gemäß dem vorher angegebenen Schema: \[ \begin{array}{l} x_0={\color{DarkRed}{a_0}}+r_0;\quad x_1=1/r_0\\ x_1={\color{DarkRed}{a_1}}+r_1;\quad x_2=1/r_1\\ x_2={\color{DarkRed}{a_2}}+r_2;\quad x_3=1/r_2\\ x_3={\color{DarkRed}{a_3}}+\ldots \end{array} \] durchgeführt, wobei $a_i\in\mathbb{N}$ und $0\leq r_i<1$ für alle $i=1,2,3,\ldots$ gilt. Die Folge ${\color{DarkRed}{a_0}}, {\color{DarkRed}{a_1}}, {\color{DarkRed}{a_2}},\ldots$ liefert die Kettenbruchkoeffizienten.

Input:

Im Applet wird der Kettenbruch dargestellt (die Iteration wird nach zehn Schritten abgebrochen). Durch Verändern des Schiebereglers oben rechts, kann man nachvollziehen, wie sich der Kettenbruch durch rückwärtiges Einsetzen in einen echten Bruch umformen läst.

Zahlenraten

Startet man bei der gegebenen Rechengenauigkeit mit einem Bruch mit nicht allzu großem Zähler und Nenner (ca. <5000), so wird der (gekürzte) Bruch aus der Fließkommadarstellung vollständig rekonstruiert. Somit kann man Kettenbrüche einsetzen, um aus Fließkommadarstellungen exakte Brüche zu rekonstruieren.