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Zur Definition von Stetigkeit

Eine Funktion $f$ ist stetig im Punkt $x_0$ wenn die Folgende Bedingung erfüllt ist:

Für alle $\varepsilon >0$ gibt es ein $\delta > 0$ so dass aus $|x-x_0|<\delta$ automatisch $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ folgt.

Im folgenden Applet kann man diese Bedingung am Beispiel einiger Funktionen anwenden. Man kann den Punkt $x_0$ und die gewünschte Schranke $\varepsilon$ (Schieberegler) einstellen. Sodann kann man testen ob es ein geeignetes $\delta$ gibt, das obige Bedingung erfüllt (Schieberegler).

Anschaulich bedeutet die stetigkeit in $x_0$ das eine kleine Änderung dieses wertes nur eine kleine Änderung des entsprechenden Funktionswertes zur Folge hat.

An den Knöpfen lassen sich einige Funktionen auswählen.

  1. $f(x):=\sin(x)$: Diese Funktion ist überall stetig.

  2. $f(x):=\exp(x)$: Diese Funktion ist überall stetig.

  3. $f(x):=x^2/2$: Diese Funktion ist überall stetig.

  4. $f(x):=x-\lfloor x\rfloor$: Diese Sägezahnfunktion ist für keine ganze Zahl stetig. Überall sonst hingegen schon.

  5. $f(x):={1\over x-2}$: Diese Funktion bis auf den Punkt $x_0=2$ überall stetig. An diesem Punkt ist sie nicht definiert und erst recht nicht stetig.

  6. $\sin(1/x)$: Funktion ist im Punkt 5$x_0=0$ unstetig. Überall sonst hingegen schon. Im Nullpunkt oszilliert diese Funktion so schnell, dass das obige Kriterium fehlschlägt.

  7. Im Gegensatz zur vorhergehenden Funltion ist diese im Nullpunkt stetig, wenngleich sie dort nicht differenzierbar ist.


Man nennt die obige Definition der Stetigkeit auch punktweise Stetigkeit im Punkt $x_0$. Stärker als diese ist die Definition der geichmäßigen Stetigkeit die eine Aussage über die Funktion auf ihrem gesamten Definitionsbereich macht.

Eine Funktion heißt gleichmäßig stetig wenn

für alle $\varepsilon >0$ gibt es ein $\delta>0$, so dass für jeden Punkt $x_0$ des Definitionbereiches aus $|x-x_0|<\delta$ automatisch $|f(x)-f(x_0)|<\varepsilon$ folgt.

In anderen Worten hängt in diesem Fall die Wahl von $\delta$ für gegebenes $\varepsilon$ nicht von der konkreten Wahl der Auswertungsstelle $x_0$ ab.

Von den obigen Funktionen ist zum Beispiel $\sin(x)$ gleichmäßig stetig, $\exp(x)$ hingegen nicht.