Fourierreihen mit Exponentialfunktion

Mathematisch viel befriedigender als ein rein reeller Ansatz ist es Fourrierreihen durch Linearrombination komplexer Exponentialfunktionen $e^{kit}$ darzustellen. Unterausnutzung der Euler’schen Idendität

\[ e^{kit}=\cos(kt)+i\sin(kt) \]

lassen sich hierbei eine Forurierreihe $\sum_{k=0}^n b_k\cdot \cos(k\cdot t)$ die ausschließlich aus Cosinusgliedern bestehen als Realteil einer Reihe

\[ \sum_{k=0}^n b_k\cdot e^{kit} \]

darstellen. Eine Reihe Die nur Sinusglieder enthält ergibt sich als Realteil von

\[ \sum_{k=0}^n i\cdot a_k\cdot e^{kit} \]

Eine allgemeine Fourierreihe lässt sich als Realteil einer Fourrierreihe

\[ \sum_{k=0}^n c_k\cdot e^{kit} \]

mit geeigneten komplexen Koeffizienten darstellen.

Im folgenden Applet werden für Bestimmte Funktionen solche komplexen Fourierreihen geometrisch dargestellt. Die Bewegung der Real und Imaginärteile der Summe wird gesondert dargestellt. Punkt $t$ ist bewegbar. Durch betätigen des Playknopfes lässt sich die Animation starten.