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Geometrische Eigenschaften der Determinante

Die Determinante ist eine Abbildung $K^{n\cdot n}\to K$, die einer $n\times n$-Matrix über einem Körper $K$ ein Körperelement aus $K$ zuordnet. Insbesondere wird somit jeder reellen quadratischen Matrix eine reelle Zahl zugeordnet. Die Determinante ist eindeutig durch folgende drei Eigenschaften charakterisiert:
  • Linearität in jeder Matrixspalte,
  • Antikommutativität,
  • $det(E_n)=1$.
Beispielsweise ergibt sich die Determinante einer $2\times 2$ Matrix zu \[ \det\left(\begin{array}{cc}a&c\\b&d\end{array}\right)\;=\;ad-bc \] In folgenden Applet kann man beobachten, wie das Vorzeichen der Determinante von der relativen Lage der Spaltenvektoren abhängt. Sind die beiden Spaltenvektoren linear abhängig (d.h. einer ist ein Vielfaches des anderen), so wird die Determinante $0$. Abhängig davon, ob man $v_1$ im oder gegen den Uhrzeigersinn drehen muss, um $v_2$ zu treffen, ändert sich das Vorzeichen der Determinante. Der Absolutbetrag einer $2\times 2$-Determinante ergibt sich als die Fläche des von den Spaltenvektoren gemeinsam mit dem Koordinatenursprung aufgespannten Parallelogrammes. Der orientierte Flächeninhalt dieses Parallelogrammes entspricht der Determinante. Man kann dies leicht zeigen, indem man für den orientierten Flächeninhalt die drei für die Determinantenfunktion charakteristischen Eigenschaften nachprüft.