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Banach’scher Fixpunktsatz

Der Banach’sche Fixpunktsatz besagt, dass jede kontraktive Abbildung einer Menge in sich (genau) einen Fixpunkt besitzt. Das Applet unten demonstriert dies am Beispiel einer projektiven Abbildung.

Eine ebene projektive Abbildung hat die Eigenschaft, dass sie Geraden wieder auf Geraden abbildet. Sie ist durch die Bilder von vier Punkten in allgemeiner Lage bereits eindeutig bestimmt. Im Applet unten wird eine Abbildung $f$ definiert, die das Einheitsquadrat auf die Ecken eines anderen Vierecks abbildet. Ist das innere Viereck konvex, so ist die Abbildung kontraktiv.

Durch Bewegen des Punktes $x$ kann man beobachten, wie sich die Abbildung verhält. Bewegen des Sliders zeigt die Iterierte auf das Einheitsquadrat angewandte Abbildung. Die Ecken des inneren Vierecks können verschoben werden.

If M’s a complete metric space,
And non-empty, it’s always the case,
If f’s a contraction,
Then under its action,
Exactly one point stays in place!