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Äquidistante vs. Tschebyscheff-Polynominterpolation

Bei der klassischen Polynominterpolation besteht die Aufgabe darin, eine Funktion $f: [a, b] \to \mathbb{R}$, von der man Funktionswerte $f(t_i)$ an $n + 1 \in \mathbb{N}$ paarweise verschiedenen Interpolationsknoten $t_0, \ldots, t_n \in [a, b]$ kennt, durch ein Polynom $P$ zu approximieren. Es soll also

\[ P(t_i) = f(t_i), \]

für alle $i \in {0, \ldots, n}$ gelten (Interpolationseigenschaft) und $\Vert P - f \Vert$ “klein” bezüglich einer geeigneten Norm $\Vert \cdot \Vert$ sein. Da ein Polynom $n$-ten Grades durch $n + 1$ Stützstellen eindeutig festgelegt ist, liegt es nahe, genau dieses Polynom zur Interpolation von $f$ zu verwenden. Rein formal lässt sich $P$ wie folgt darstellen

\[ P(t) := \sum_{i = 0}^n f(t_i) L_{i,n}(t), \quad \text{wobei} \quad L_{i, n}(t) := \prod_{\substack{j = 0 \ j \neq i}}^n \frac{t - t_j}{t_i - t_j}, \]

dass $i$-te Lagrange-Polynom vom Grad $n$ bezeichnet. Nach Definition gilt offenbar $L_{i,n}(t_j) = \delta_{i,j}$, was die Interpolationseigenschaf von $P$ erklärt.

Wie bei jedem Problem aus der Numerik, müssen/sollten wir uns auch bei der Polynominterpolation nach deren Kondition fragen. Es stellt sich dabei heraus, dass die absolute Konditionszahl gleich der sogenannten Lebesgue-Konstanten

\[ \kappa_{\text{abs}} = \Gamma_n := \max_{t \in [a,b]} \sum_{i = 0}^n |L_{i,n}(t)|, \]

ist. Interessant ist hierbei, dass $\Gamma_n$ für äquidistante Wahl der Stützstellen $t_i$ exponentiell in $n$ wächst. Für äquidistante Stützstellenwahl sollte der Grad des Interpolationspolynoms $P$ somit nicht zu groß werden!

Applet

Im nachfolgenden Applet kann man gut erkennen, wie sich die drastische Konditionsverschlechterung bei äquidistanter Stützstellenwahl auf die Interpolationsgüte von $P$ bei wachsendem $n$ auswirkt.

Lagrange.cdy (Dieses Applet kann in Cinderella ausgeführt werden.)