(Best-)Aproximierende Brüche

Mit diesem Applet kann man beobachten, wie gut eine nach $i$ Iterationsschritten abgebrochene Kettenbruchentwicklung eine gegebene Zahl approximiert. Am Schieberegler kann man eine Iterationstiefe zwischen 1 und 20 einstellen. Neben der Zahl wird der expandierte Bruch dargestellt sowie die sich aus diesem Bruch ergebende Fließkommaapproximation. Es wird ebenso dargestellt, wie viele Stellen der zu approximierenden Zahl durch den Kettenbruch bereits korrekt approximiert werden. Man kan beweisen, dass unter allen Brüchen die durch Kettenbrüche erzeugten Aproximationen die gegebene Zahl "am besten" approximieren. Ist $p/q$ der Bruch, der sich aus der $i$-ten Kettenbruchapproximation von $x$ ergibt, so approximiert dieser Bruch die Zahl $x$ besser als jeder andere Bruch mit kleinerem Nenner. Tatsächlich ist in der Praxis die Approximationsgüte einer Kettenbruchapproxiation wesentlich besser, als man von der Größe des Nenners her erwarten könnte. Es gilt z.B. \[ |x-p/q|<1/q^2 \] für jeden aus einer Kettenbruchapproximation entstehenden Bruch $p/q$.

X=

Hier einige Zahlen mit interessanten Kettenbruchentwicklungen