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"Springende" Wurzeln

Es folgt ein etwas subtiler Ausflug in die globale geometrische Struktur der Wurzelfunktionen. Wir haben gesehen, dass man die $k$-ten Wurzeln einer Zahl $z$ als $k$-deutige Funktion auffassen muss. Mann könnte versucht sein zu fragen: " Wenn wir doch insgesamt $k$ verschiedene $k$-te Wurzeln haben, warum definieren wir dann nicht einfach $k$ verschiedene Funktionen, von denen jede jeweils eine Wurzel liefert?"

Dies kann man zwar tun, man nimmt dann jedoch in Kauf, dass die so entstehenden Funktionen sich nicht mehr kontinuierlich verhalten - schlimmer noch: Die "Sprungstellen", an denen diese Funktionen eine Diskontinuität aufweisen, sind letztlich willkürlich zu wählen. Diese Willkür bricht die gesamte Symmetrie, die dem Problem der Wurzelberechnung eigentlich zu Grunde liegt.

Das folgende Applet verdeutlicht diesen Effekt. Die Werte der einzelnen Funktionen sind durch verschiedene Farben markiert. Man beobachtet, dass - wenn man $z$ einmal um den Ursprung bewegt - die Farben an drei Stellen plötzlich springen.

Insgesamt kann für festes $k$ z.B. ein grüner Punkt hier niemals an einer Stelle sitzen, an der vorher ein roter Punkt war.