Die harmonische Reihe

Die harmonische Reihe

\[ 1+{1\over 2}+{1\over 3}+{1\over 4}+{1\over 5}+{1\over 6}+{1\over 7}+\ldots \]

ist eine Reihe die sehr langsam divergiert.

Die Partialsummen dieser Reihe werden annähernd durch die Logarithmus Funktion approximiert.

\[ \sum_{k=1}^n {1\over k} \approx\log(k)+\gamma \]

Wobei $\gamma$ die so genanne Euler-Mascherroni konstante ist.

\[ \gamma = 0,5772156649015328606065120900824024310421593359399235988057672348848677267776646709369470632917467495\ldots \]

(siehe auch hier).

Das folgende Applet vergleicht die Partialsummen der Reihe mit der Funktion $\log(k)+\gamma$. Es ist auffallen, dass diese Funktion mit sehr hoher Präzission durch die Ecken der “aufgestapelten” Summenrechtecke (rot) geht.

An den weissen Punkten kann man die Skalengröße verändern. Durch Verschieben des roten Punktes kann man die Größen bestimmter Partialsummen abfragen.