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Verschiebung (Translation)

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Eine Verschiebung lässt sich als Abbildung einfach durch eine Addition eines Vektors ausdrücken. \[ \left(\begin{array}{cc} x\\ y \end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{cc} x\\ y \end{array}\right) + \left(\begin{array}{cc} t_x\\ t_y \end{array}\right) \] So einfach diese Abbildung ist, hat sie doch ihre Tücken: Das Hauptproblem kommt daher, dass diese Abbildung nicht linear ist. Somit lässt sich eine Verkettung einer solchen Abbildung mit beispielsweise einer Drehung nicht einfach durch Matrizenmultiplikation durchführen. Es gibt jedoch einen "Trick", mit dem man auch Translationen als Matrizenmultiplikationen auffassen kann: Hierzu bettet man die normale $x,y$-Ebene quasi in den dreidimensionalen Raum auf eine $z=1$-Ebene ein. Man repräsentiert Punkte durch Vektoren der Form \[ \left(\begin{array}{cc} x\\ y \\1\end{array}\right). \] Eine Translation kann man dann durch Multiplikation mit einer geeigneten $3\times 3$ Matrix durchführen, wie man leicht nachrechnet. \[ \left(\begin{array}{cc} x\\ y \\1\end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{ccc} 1&0&t_x\\ 0&1&t_y \\0&0&1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc} x\\ y \\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} x+t_x\\ y+t_y \\1\end{array}\right) \] Lineare Transformationen in $\mathbb{R}^2\to\mathbb{R}^2$ kann man in dieser Darstellung ebenso durch Multiplikation geeigneter $3\times 3$ Matrizen ausdrücken. \[ \left(\begin{array}{cc} x\\ y \\1\end{array}\right) \mapsto \left(\begin{array}{ccc} a&b&0\\ c&d&0 \\0&0&1\end{array}\right) \cdot \left(\begin{array}{cc} x\\ y \\1\end{array}\right) = \left(\begin{array}{cc} ax+by\\ cx+dy \\1\end{array}\right) \] Somit lassen sich solche Transformationen in dieser Darstellung durch einfache Matrizenmultiplikation miteinander verknüpfen. Man braucht keinen strukturellen Unterschied zwischen Verschiebungen und Drehungen vorzunehmen.