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Regression bezüglich beliebiger Basisfunktionen

Das eben beschriebene Verfahren lässt sich nicht nur auf lineare Regressionsfunktionen anwenden. Man kann sich einen beliebigen Satz von Basisfunktionen

\[ f_1(x),f_2(x),\ldots,f_k(x) \]

vorgeben und nach einer Gewichtung $a_1,a_2,\ldots,a_k$ suchen, so dass für einen gegebenen Satz von $n$ Daten $(x_i,y_i)$ die Quadratsumme

\[ \sum_{i=1}^n(f(x_i)-y_i)^2 \]

minimal wird, wobei die Funktion $f(x)$ eine Linearkombination der Basisfunktionen ist:

\[ f(x)=a_1f_1(x)+a_1f_1(x)+\cdots+a_kf_k(x) \]


Im folgenden Beispiel kann man sowohl die Position der Datenpunkte als auch die Basisfunktionen verändern. Das Startbeispiel berechnet eine Regressionsparabel bezüglich der Basis $1$, $x$, $x^2$.

RegressionInput3.cdy (Dieses Applet kann in Cinderella ausgeführt werden.)

Basis-Funktionen durch Komma getrennt eingeben:

oder Basisfunktionen durch Knopfdruck auswählen:


Die Berechnung erfolgt hierbei vollkommen analog zum Berechnen der Regressionsgeraden zuvor. Mann bestimmt zunächst eine Matrix $M$ und einen Vector $y$ gemäß:

\[M=\left(\matrix{ f_1(x_1)&f_2(x_1)&\cdots&f_k(x_1)\cr f_1(x_2)&f_2(x_2)&\cdots&f_k(x_2)\cr \vdots&\vdots&\ddots&\vdots\cr f_1(x_n)&f_2(x_n)&\cdots&f_k(x_n)\cr }\right); \qquad y=\left(\matrix{ y_1\cr y_2\cr \vdots\cr y_n\cr }\right) \]

Die gesuchten Paramter ergeben sich dann durch Lösen des $k\times k$ Gleichungssystems

\[ M^TM\cdot a=M^Ty. \]

Wobei $a=(a_1,a_2,\ldots a_k)$ der gesuchte Parametervektor ist.