Skalarprodukt und Vektorlängen

Der gelbe Punkt in diesem Applet bezeichnet einen Wert auf der y-Achse, der genau dem Wert des kanonischen Skalarporduktes $ \langle v,w \rangle$ entspricht. Die Cauchy-Schwarz’sche Ungleichung besagt, dass

\[ \vert \langle v,w \rangle\vert \leq \Vert v\Vert \cdot \Vert w\Vert \]

Dies hat insbesondere zur Folge, dass wenn $\Vert v\Vert=1$ gilt, der Betrag des Skalarproduktes maximal den Betrag des Vektors $w$ und annehmen kann. Im Applet kann man die Vektoren $ v$ und $ w$ auf dem Einheitskreis einrasten lassen. und diesen Sachverhalt experimentell nachprüfen.

Liegen beide Vektoren auf den Einheitskreis, so erbibt das Skalarprodukt genau den Cosinus des eingeschlossenen Winkels.